Вероятность попадания в интервал

Когда мы говорим «вероятность попадания в интервал», мы имеем в виду шанс того, что случайная величина X окажется в диапазоне (a, b). В зависимости от типа случайной величины (дискретной или непрерывной), характера её закона распределения и способа задания функции распределения, одна и та же фраза «интервал (a, b)» может истолковываться по-разному. Ниже приведены 6 ключевых вариантов толкования этой приметы, каждый с примерами и формулами.

Вариант 1. Непрерывная случайная величина задана плотностью f(x)

Суть толкования: вероятность попадания равна площади под кривой плотности на отрезке [a, b].

• Формула: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx
• Интерпретация: чем «выше» кривая f(x) внутри интервала, тем больше вероятность.
• Пример: если f(x)=3x² при x∈[0,1], то
  P(0.2 ≤ X ≤ 0.5) = ∫_0.2^0.5 3x² dx = x³|_0.2^0.5 = 0.125 − 0.008 = 0.117

Вариант 2. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения F(x)

Суть толкования: вероятность вычисляется как разность значений F(x) на концах интервала.

• Формула: P(a ≤ X ≤ b) = F(b) − F(a)
• Плюсы: не нужно брать интеграл, если F(x) уже известна в аналитическом виде.
• Пример: при экспоненциальном распределении F(x)=1−e^−λx получаем
  P(2 ≤ X ≤ 5) = (1−e^−5λ) − (1−e^−2λ) = e^−2λ − e^−5λ

Вариант 3. Нормальное распределение N(μ, σ²) и стандартизация

Суть толкования: сводим задачу к стандартному нормальному закону Z ~ N(0,1), используя таблицу Лапласа.

• Формула: P(a ≤ X ≤ b) = Φ((b−μ)/σ) − Φ((a−μ)/σ)
• Шаги:
  1. Считаем t₁ = (a − μ)/σ и t₂ = (b − μ)/σ
  2. По таблице находим Φ(t₂) и Φ(t₁)
  3. Вычитаем: вероятность равна разности
• Пример μ=2, σ=1:
  P(1 ≤ X ≤ 4) = Φ(2) − Φ(−1) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185

Вариант 4. Дискретная случайная величина (вероятностный ряд)

Суть толкования: суммируем вероятности всех допустимых значений, попадающих в интервал.

• Формула: P(a ≤ X ≤ b) = Σ_{xk∈{a,…,b}} p_k
• Особенность: границы включаются только при x_k целочисленных.
• Пример: бросаем две игральные кости, X — сумма очков. Найдём P(5 ≤ X ≤ 9).
  Допустимые значения: 5,6,7,8,9. Вероятности:
  • P(X=5)=4/36
  • P(X=6)=5/36
  • P(X=7)=6/36
  • P(X=8)=5/36
  • P(X=9)=4/36

Вариант 5. Геометрическая вероятность (равномерное распределение на отрезке)

Суть толкования: вероятность пропорциональна длине интервала, если вся площадь равнозначна.

• Формула: P = (b − a)/(B − A), где [A, B] — весь допустимый отрезок.
• Пример: автобус приезжает случайно в течение 30 минут. Какова вероятность, что он придёт в первые 10 минут?
  P = 10/30 = 1/3 ≈ 0.333

Вариант 6. Вероятность «строгое» и «нестрогое» неравенство

Суть толкования: для непрерывных величин границы a и b можно считать включёнными или не включёнными — это не влияет на результат, потому что вероятность точного значения нулевая.

• Формула: P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b)
• Исключение: для дискретных случаев строгие границы исключают концевые точки.
• Пример: при нормальном распределении
  P(X = 2) = 0, поэтому P(1 ≤ X ≤ 4) = P(1 < X < 4)

Понимание этих шести вариантов позволяет безошибочно подобрать нужный подход к любой задаче на вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.